Nilai Signifikan - Metoda Numerik

Nilai Signifikan

Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai  batas nilai tersebut diterima atau tidak. Sebagai contoh perhatikan nilai pada penggaris :

Nilai yang ditunjuk tidak tepat pada angka yang ditentukan karena selisih 1 strip, dalam  kejadian ini bila dianggap nilai signifikan = 1 maka nilainya 59 atau 60.

Bila penggaris tersebut dilihat dengan skala lebih besar pada daerah yang ditunjuk oleh  jarum :

Dari gambar ini, dengan nilai signifikan 10-1 (0,1) maka diperoleh nilainya 59 atau 59,5.

Angka Signifikan (AS)

•       Komputasi thd suatu bilangan à Bilangan hrs meyakinkan ?

•       Konsep angka signifikan à keandalan sebuah nilai numerik

•       Banyak angka  signifikan à banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkan

•       Selain angka signifikan, jg ada angka taksiran

•       Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why?

•       Ketidakpastianà kepastian, jk pakai notasi ilmiah

            Bagaimana?

            0,000123                     à mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)

            0,00123                                   à mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)

            12.300                         à Tidak jelas berapa AS, karena msh di?kan nol itu

                                                     berarti atau tidak…!

            1,23 x 10⁴                    à mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah)

            1,230 x 10⁴                  à mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)

            1,2300 x 10⁴                à mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

                       

Dua arti penting angka signifikan

·         “AS akan memberikan  kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerik”

·         “AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas” à (kesalahan pembulatan/round-off-error

Akurasi dan Presisi

Presisi

•       Jumlah angka signifikan yg menyatakan suatu besaran

•       Penyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah alat yg mengukur suatu perilaku fisik tertentu

Akurasi

•       Dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran terhadap  harga sebenarnya yang hendak dinyatakan Inakurasi (Tdk akurat)

•       Simpangan sistematis dari kebenaran

Kesalahan à “mewakili dua hal yaitu tidak akurat dan tidak presisi dari ramalan yang dilakukan

•       Kesalahan Numerik à Adanya aproksimasi

Meliputi:

•       Kesalahan pemotongan (truncation error) à saat aproksimasi digunakan utk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.

•       Kesalahan pembulatan (round-off error) à ketika angka² aproksimasi dipakai utk menyatakan angka-angka pasti.

•        

Sehingga, bisa dihubungkan:

            Harga Sebenarnya = pendekatan + Kesalahan

•       Bisa dikatakan: “Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan aproksimasi”

            Et = Harga sebenarnya – aproksimasi;

Dimana, Et = harga pasti dari kesalahan; huruf t dimaksudkan bahwa ia adalah kesalahan “sebenarnya” à Tapi, Definisi yang lemah..!Why..???

Kelemahan definisi?

•       Tidak memperhitungkan tingkat/orde besar dari nilai yang diperiksa, mis: kesalahan 1 cm akan sangat berarti pada pengukuran panjang paku dari pada pengukuran panjang jembatan

•        

Menutupi kelemahan di atas, How??

•       Menormalisasi kesalahan itu thd harga sebenarnya à Kesalahan Relatif Fraksional(KRF)

•       KRF = Kesalahan / Harga sebenarnya

•       KRF dapat pula dikalikan dengan 100% didefinisikan sebagai εt, sbb:

                         εt = (Kesalahan /Harga Sebenarnya) x 100% ;

                           Dimana: εt = kesalahan relatif  sebenarnya. (persen )

•       Alternatif yg selalu dipakai dlm menormalisasi kesalahan dgn mengunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu sbb:

εa = (Kesalahan aproksimasi/Aproksimasi)x 100%

Dimana: a = kesalahan tersebut dinormalisasikan

                                      thd sebuah harga aproksimasi.

Masalah & Sekaligus tantangan dlm Met-Num à

“menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga yang sebenarnya”

•       Metode numerik tertentu memakai pendekatan interasi  utk menghitung jawaban.

•       Dlm hal ini, suatu aproksimasi skrg dibuat berdsrkan suatu aproksimasi sblmnya à dilakukan berulang kali atau scr interasi spy dapat menghitung aprosimasi yg lbh baik & semakin baik.

•       Dgn demikian, kesalahan sering ditaksir sbg pbedaan antara aproksimasi sblmnya dgn aproksimasi sekarang, Sehingga kesalahan relatif persen ditentukan:

εa = (aprok. skrg – aprok. sblmnya)/(pendekatan skrg) x 100%

εa bisa sj positif atau jg negatif, namun seringkali hanya digunakan harga absolutnya dimana apakah lebih kecil dari suatu toleransi praspesifikasinya (εs)

           

                                                │εa│ < εs

•       Kalau hubungan (│εa│ < εs ) dipegang, hasil kita anggap berada dlm tingkat praspesifikasi yang dapat diterima εs

•       (Scarborough, 1966)à Jk kriteria di atas bs diterima, maka dapat menjamin bhw hasilnya adalah betul hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan.

εs = ( 0,5 x 10^2-n ) % à Buku Chapra,hal 79-81

Kesalahan Pembulatan

•       Berasal dari kenyataan bhw komputer hy menyimpan sejumlah tertentu angka signifikan selama kalkulasi

Misalnya:

•       Bila ia menyimpan 7 angka signifikan maka ¶ sebagai ¶ = 3,141592, dgn mengabaikan suku2 yg dikalikan dlm kesalahan pembulatan:

            Et = 0,00000065 …

•       Kelemahan pembulatan di atas à ia mengabaikan suku-suku sisa dalam menyatakan desimal lengkap.

•       Jika dibulatkan ¶ = 3,141593 karena angka ke-8 adalah 6, maka kesalahan pembulatan berkurang menjadi:

                                    Et = 0,00000035 …

•       Untuk membulatkan bilangan sesuai dengan aturan pembulatan dari syarat di atas à Menambah biaya komputasi & akibatnya beberapa mesin memakai chopping (mengambil suku2 sisa dalam menyatakan desimal lengkap) sederhana.

•       Pendekatan ini bs diterima dengan asumsi bhw jumlah angka signifikan pd kebanyakan komputer cukup besar, hingga kesalahan pembulatan berdasarkan permotongan biasanya diabaikan.

•       Aturan pembulatan à Lihat buku Chapra, hal 85-87

Kesalahan Pemotongan

•       Adalah kesalahan yg dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika eksak suatu kesalahan pemotongan dimskan ke dlm solusi numerik karena kesamaan diferensial hanya melakukan aproksimasi harga turunan sebenarnya. Agar memperkuat pengertian thd perilaku kesalhan semacam ini, sekarang kita kembalipada suatu rumus matematika yg secara luas telah digunakan dalam metode numerik untuk menyatakan fungsi2 dalam suatu bentuk pendekatan yaitu Deret taylor

Contoh  1.1       :

Seorang   perakit  komputer  akan  merakit  komputer  dengan  tiga  merek   yaitu merek   Garuda,  Harimau,  Kancil. 

Proses pembuatan melalui  tiga  tahapan  : 

Pertama

Kedua

Ketiga

Seleksi peralatan

Perakitan

Uji coba dan finishing

Gajah	3 jam	5 jam	5 jam
Harimau	4 jam	4 jam	6 jam
Kancil	3.5 jam	4 jam	7 jam

Waktu yg tersedia

24 jam

12 jam

12 jam

Berapa  banyak  hasil  rakitan  yang  diperoleh setiap  hari ?.

Penyelesaian.

Definisi  masalah  : Jika  diasumsikan  bahwa

G :           menyatakan  banyak  komputer merk Garuda    yang  dihasilkan,

H :          menyatakan  banyak  komputer merk Harimau  yang  dihasilkan 

K :          menyatakan  banyak  komputer merk Kelinci     yang  dihasilkan    

-   Komputer merek Garuda  tahapan seleksi memerlukan  waktu  3 jam,  perakitan    5 jam, uji coba  dan  finishing memerlukan  waktu  5 jam.  

-   Komputer merek  Harimau   seleksi  peralatan(periperal)  memerlukan  waktu  4 jam,  perakitan  4 jam, uji  coba  dan  finishing memerlukan  waktu  6 jam.

-   Komputer merek Kancil  seleksi  peralatan(periperal) memerlukan  waktu  3,5 jam, perakitan  4 jam, uji  coba  dan  finishing 7 jam.

-   Waktu yang disediakan  masing-masing devisi :

§  periperal  menyediakan  24 jam   per orang  perhari,

§  perakitan  menyediakan  12  jam  per orang  perhari

§  uji  coba dan  finishing menyediakan  12  jam  per orang  perhari.

       Berapa  banyak  hasil  rakitan  yang  diperoleh setiap  hari ?.

Dari permasalahan tersebut diperoleh  model  matematika  sebagai  berikut.

Model  matematika       :

Permasalahan  diatas  dapat  dinyatakan  dalam  bentuk  model  matematika  sebagai  berikut .

        3G   +  4H  + 3.5K   =  24                  i)

        5G   +  4H  +  4  K   =  12                ii)

        5G   +  6H  +  7  K   =  12                iii)

persamaan  ke i)  menyatakan  pemanfaatan  total  waktu  seleksi  periperal, ii)  total  waktu  perakitan  dan  iii)  menyatakan  total  waktu  uji  coba  dan  finising.

Apabila ditulis  dalam bentuk matrik  adalah sbb :

                       

3.  Alat  pemecah  masalah            :

Dengan  alat  pemecah  masalah  seperti   komputasi  numerik,  statistika,  aljabar akan   diperoleh  hasil  numeris  (G = ...    ,  H =..   dan   K  =  …)

Pada contoh ini digunakan Matlab   diperoleh  hasil  numeris   

G =   -2.7692, H =  19.3846  dan   K =  -12.9231

 Implementasi  :

Dari hasil  numeris yang  dapat diartikan (di implementasikan  ke permasalahan  semula) bahwa pada hari yang diinginkan tersebut dirakit  tiga unit komputer  

·         merk Garuda (G = -2.7692 ) tetapi belum selesai (hasilnya negatif).

·         H = 19.3846   menyatakan banyak  komputer merk  Harimau dapat dirakit 19 unit dan satu unit belum selesai.

·         komputer  merk  Kancil  (K =  -12.9231) dirakit tiga belas unit komputer  tetapi belum selesai semua.